שחקן פוקר, סטטיסטיקאי ושופט נכנסים לבית משפט

קלפי מזל

חשכת הלילה יורדת על ירושלים, ושלושה עשר אנשים נכנסים בחשאי לבית רגיל למראה וסבים לשולחן ארוך. השנה היא 2009 ובאזור אחת בלילה, המשטרה תגיע ותעצור את יושבי השולחן ומארגני הערב. האשמה? "משחק אסור" - פוקר טקסס הולדם.

אחד המארגנים מודה באשמה במסגרת הסדר טיעון ונגזרים עליו קנס ומאסר על תנאי. הנאשמת השנייה מודה בכל העובדות המיוחסות לה, אך כופרת באשמה – היא טוענת כי טקסס הולדם אינו משחק אסור. אז מהו בכלל משחק אסור, שחלקנו מכירים גם כ"משחק מזל"? אולי, למשל, משחק שהמזל משחק בו תפקיד? כמובן שלא. קשה למצוא משחק שאין למזל תפקיד בו. מה הסיכוי שאני ואתם נוכל לנצח את ברצלונה במשחק כדורגל? קרוב לאפס, אבל לא אפס עגול. למה? "מזל". ברור שמבחינת יכולות, כל אחד מהשחקנים של ברצלונה טוב בעשרות אם לא מאות ואלפי מונים מכל אחד מאיתנו, וביחד הם טובים אפילו יותר – אבל תמיד יש גם איזשהו אלמנט של מזל, או כמו שסטטיסטיקאים אוהבים לקרוא לו: מקריות.

אפשר לחשוב על מספר גורמים למקריות שכזו – יכול להיות ששחקני ברצלונה פחות מורגלים לאקלים הישראלי. יכול להיות שחלק משחקני ברצלונה רבו אחד עם השני ולכן הם לא משתפים פעולה או אפילו "דופקים" אחד את השני באופן פעיל. יכול להיות שיש להם בבית ילד חולה, שיש להם בעיות במערכת היחסים, שהמטבע קבע שקבוצת "אין מצב שהם מנצחים את ברצלונה" מתחילה והצליחה להבקיע שער מהיר בבעיטה מהחצי כאשר השוער של ברצלונה עדיין נתן חתימות לאוהדים נרגשים.

את כל אלה היינו מגדירים כמזל או מקריות משתי סיבות: הראשונה היא, שקשה מאוד להיערך לכל הסיטואציות האפשריות האלה. זה נכון ששחקן מקצועי אמור להיות גם בעל יכולת התמודדות מנטלית טובה יותר (למשל בעיות במערכת היחסים), אבל אנשים הם לא מכונות ואף מאמן לא היה מוותר על ליאו מסי שכל כמה משחקים קצת מקרטע כי הוא רב עם חברה שלו. השנייה היא, שאם נחזור על המשחק מספר פעמים – אנו לא נצפה חזרה של אירועים שכאלה. יכול להיות שקבוצת "אין מצב שהם מנצחים את ברצלונה" תנצח את ברצלונה פעם אחת, אבל אם הן ישחקו עוד כמה משחקים, ההימור הנכון עדיין יהיה שברצלונה תנצח – וזה בגלל פער היכולות העצום, שאינו תלוי כלל במקריות.

כיוון שכוונת המחוקק היא לא שכל משחק שיש בו מקריות יהיה אסור, חוק העונשין הישראלי מגדיר: "משחק אסור" - משחק שבו עשוי אדם לזכות בכסף, בשווה כסף או בטובת הנאה לפי תוצאות המשחק, והתוצאות תלויות בגורל יותר מאשר בהבנה או ביכולת.

החלק המודגש הוא סלע המחלוקת שהגיעה עד לבית משפט השלום בירושלים ב-2011. האם התוצאות בטקסס הולדם תלויות בגורל יותר מאשר בהבנה או ביכולת? אם ההגנה תצליח לטעון זאת, הרי שחוק העונשין לא חל – היא לא נאשמת במשחק אסור כיוון שטקסס הולדם אינו משחק אסור, ונגמר הסיפור.

לפני שניגש לטענות ההגנה, נציג בקצרה את החוקים של טקסס הולדם. מי שמכיר את המשחק יכול לדלג על הפסקה הזו, גם כי היא לא תוסיף לו דבר וגם כי הוא כנראה יתעצבן שאני משמיט חלקים חשובים או לא מדייק. בתחילתו של כל סיבוב, ישנו סכום מינימלי להימור (למשל 10 שקלים) וכל שחקן מקבל שני קלפים באופן אקראי מהחבילה. לאחר שכל השחקנים קיבלו קלפים, אחד אחרי השני הם מכריזים האם הם נשארים במשחק, יוצאים ממנו ("מתקפלים"), או מגדילים את גובה ההימור. אם אחד השחקנים הגדיל את גובה ההימור, השחקנים האחרים חייבים להשוות או לצאת. בשלב הבא במשחק, פותחים שלושה קלפים נוספים על השולחן, גלויים לעיני כל השחקנים. שוב כל שחקן מכריז האם הוא נשאר במשחק, יוצא ממנו או מגדיל את גובה ההימור. בשלב הבא פותחים קלף נוסף על השולחן, והשחקנים שוב מכריזים אם הם נשארים, יוצאים או מגדילים את גובה ההימור. בשלב האחרון פותחים קלף נוסף (כך שיש עכשיו חמישה קלפים גלויים) והשחקנים שוב מכריזים. מי שמנצח בסיבוב הוא השחקן עם צירוף חמשת הקלפים (שילוב כלשהו של הקלפים הגלויים ומה שיש לו ביד) ה"טוב ביותר", או מי שנשאר אחרון אם השאר החליטו לצאת באחד השלבים הקודמים. אם נשאר יותר משחקן אחד, השחקנים צריכים לחשוף את הקלפים ב"שואודאון" המכריע מי ינצח. דירוג הצירופים אמור להיות מוכר לכולנו: "זוג", "שלישייה", "רביעייה", "פול האוס" וכד'.

בית המשפט

עכשיו כשאנחנו יודעים איך משחקים טקסס הולדם, נחזור לבית משפט השלום – איך ביקשה ההגנה לטעון שטקסס הולדם אינו משחק אסור? הרי השחקנים מקבלים קלפים באופן אקראי שהם לא יכולים להשפיע עליו (אלא אם הם מרמים), ומי שמנצח הוא זה שיש לו את צירוף הקלפים הכי טוב. לא רק זאת - בטקסס הולדם קיימים יותר מ-133.784 מיליון "צירופים" אפשריים... הסיכוי לקבל רביעייה הוא פחות מ-0.2%. רק מזל? אז זהו, שלא. היכולת של השחקנים לצאת, להגדיל את ההימור או להשוות בכל שלב, וכך גם היכולת "לבלף" (להעלות הימורים ולהמשיך במשחק למרות שאין להם קלפים טובים), וכן לבצע חישובי הסתברות לגבי הצירופים שיש לשחקנים האחרים (הרי יש חמישה קלפים גלויים) – אלו הם מרכיבי היכולת של טקסס הולדם. לדוגמה, קל לזהות שחקנים "מתחילים" בטקסס הולדם – הם אלה שנכנסים ומשווים יותר מאשר יוצאים.

אז יש לנו כאן גם מרכיב של מזל וגם מרכיב של יכולת. זה לא מספיק, כי החוק אומר "תלויות בגורל יותר מאשר ביכולת", אז ההגנה צריכה להוכיח את ההפך – כי התוצאות תלויות יותר ביכולת מאשר בגורל. איך בודקים את זה? הסתברות וסטטיסטיקה. ענף מדעי שראשיתו בדיוק במשחקי מזל מסוג זה – כאשר מתמטיקאים ניסו להבין אילו משחקי מזל טובים יותר ואילו פחות, והאם אפשר "לנצח" אותם באופן שיטתי כלשהו.

ההגנה זימנה עד מומחה שהציג שני מחקרים. הראשון הוא "פוקר, מזל ויכולת" - מחקר תאורטי של פרופ' נוגה אלון שכשמו כן הוא. מטרתו לנתח בדיוק מהו הרכיב המשמעותי ביותר במשחק. הוא עושה זאת בעזרת מספר מודלים הסתברותיים¹ בדרגת סיבוכיות הולכת וגדלה, בהם הוא משווה בין הביצועים (במסגרת המודל) של שחקנים בעלי יכולת לכאלה הנסמכים על מזל בלבד. פרופ' אלון מוצא שכבר בסיבוב אחד יש לשחקן בעל היכולת יתרון, וככל שמשחקים יותר סיבובים (ומשחק הולדם טיפוסי כולל הרבה סיבובים), היתרון הולך וגדל עד שמרכיב המזל נשחק כמעט לחלוטין ומסכם:

"... למרות המרכיב האינהרנטי של מזל בפוקר, הניתוח שלנו מציע כי התוצאות של משחק כדורגל ואפילו של טניס, תלויות במזל יותר מאשר בפוקר... אנשים רבים מרגישים אחרת, וזו מסיבה פסיכולוגית – אנו מקשרים בין אקראיות וקלפים וקוביות יותר מאשר עם מזג אוויר, ומאפייני מגרש – למרות שלאלה יש השפעה גדולה יותר על התוצאות מאשר לחלוקה האקראית של הקלפים. העובדה ששחקנים רבים מגיעים למקומות גבוהים בטורנירי פוקר באופן שיטתי הוא אינידקציה נוספת לכך שפוקר הוא בעיקר משחק של יכולת".

המחקר השני שההגנה הציגה הוא "ניתוח סטטיסטי של טקסס הולדם", שמשתמש בנתונים מ-PokerStars, זירת פוקר אונליין הפופולריות בעולם (השולטת בלמעלה משני שליש מהשוק). זהו מחקר קצרצר שהיופי שלו טמון בנתונים – מדובר במעל ל-103 מיליון סיבובים, כאשר בכל סיבוב אנחנו יודעים את הקלפים של כל השחקנים (גם אם הם לא חשפו אותם), הקלפים שעל השולחן, באיזה שלב הסיבוב נגמר וכיצד הוא נגמר. החוקרים מוצאים ש-75% מהסיבובים מוכרעים מבלי שאף שחקן בכלל חושף את הקלפים שלו. בשאר הסיבובים, יש לנו שואודאון. בחצי מאלה (כלומר, בערך 12.5% מהסה"כ) מי שמנצח בשואודאון הוא בכלל לא השחקן שהיה לו את הצירוף הטוב ביותר. איך זה יכול להיות? כי השחקן שהיה לו את הצירוף הטוב ביותר יצא (התקפל) באיזשהו שלב מוקדם יותר. התוצאות הללו מלמדות אותנו שהתוצאות של פוקר תלויות הרבה יותר בהחלטות השחקנים (ולכן גם ביכולת שלהם) מאשר במזל ואקראיות.

פסק הדין

ומאז, בזכות מדע ההסתברות וסטטיסטיקה, טקסס הולדם הוא משחק חוקי בארץ ישראל. סתםםםםםםםםם. השופט - לא השתכנע. הוא לא השתכנע מכמה סיבות, כאשר העיקריות הן:

ראשית, הוא טען כי לפי לשון החוק יש לבחון "משחק בודד" ולכן כל נימוק המשתמש בסדרת משחקים בשביל לבדוק את היחס בין מזל ליכולת "מסכלת את לשון החוק ואת מטרתו" ולכן בטל.

שנית, לפי השופט, "על מנת לומר כי הכישורים חשובים מן הגורל, יש להראות כי שחקן יכול בעזרת כישוריו להתגבר על הגורל, ולזכות במשחק למרות שהקלפים שאותם קיבל נחותים מאלו שקיבלו יריביו". כיוון שלפי השופט, ההחלטות היחידות הזמינות לשחקן עם קלפים נחותים הן "לסגת ולהפסיד את סכום ההימור הראשוני, או להמשיך במשחק ולקוות כי יתר השחקנים יסגו". ההחלטה הראשונה לא תסתיים בניצחון, וההחלטה השנייה "תלויה בהחלטותיהם של שאר השחקנים" ולכן אינה מהווה דוגמה לכיצד יכולת מתגברת על הגורל.

שלישית, השופט נוזף בעד המומחה כאשר זה הודה שהידע שלו בנושא הוא תאורטי בלבד ומעולם לא שיחק טקסס הולדם, ולכן (יחד עם הסתייגויות אחרות מן העדות) מצא אותו כעד לא אמין.

רביעית, ואולי המשעשעת מכל הטענות, היא כי הוא לא מקבל את הטענה ש"בילוף" הוא "מרכיב מרכזי בסל כישוריו של השחקן" שכן "התקשיתי לראות כיצד ניתן לראות בהטעיית הזולת, סוג של יכולת המכשירה משחק אסור. הדבר קרוב יותר לניצול מכוון של טעות הזולת, שלא לומר יותר מזה".

היה אפשר לסיים כאן, למדנו הרבה - אבל גם למדנו שלפרשנויות מעניינות (וגם נכונות מדעית) לחוק יש גבול, ולמרות זאת, ארצה להגיב בקצרה לחוות דעתו של השופט.

ראשית, הטיעון לגבי "משחק בודד" אינו שייך. הביטוי "משחק" בפוקר משול יותר לחלק קטן במשחק, ולכן גם קראתי לו כאן "סיבוב". מעולם לא התאספו חבורה של אנשים ושיחקו "משחק פוקר" שכלל "משחק" אחד. אלמנט המזל אכן מהותי יותר בסיבוב הבודד מאשר באוסף של סיבובים (משחק או טורניר), אך באותה מידה גם בעיטה חופשית בכדורגל או הגשה בטניס הם כאלה, וברור שלא היינו מנתחים האם כדורגל וטניס הם משחקים אסורים לפי ניתוח של אלמנט המזל ברגעים קצרים אלו במשחק המלא.

שנית, היכולת לסגת או לא לסגת בשביל להפעיל לחץ על השחקנים היריבים היא אכן דרך "להתגבר על הגורל בעזרת יכולת", בדיוק כפי ששחקן שח-מט יכול לסגת מתקיפה או להקריב פיון בשביל לנצח במשחק או לצאת למהלך חשוב יותר. הניתוח של PokerStars מראה זאת בבירור, כאשר בחצי מהמשחקים שנגמרים בשואודאון, השחקן המנצח הוא לא השחקן עם הצירוף הטוב ביותר בשולחן.

שלישית, תמוה בעיניי ששופט נזף בעד מומחה על כך שהוא לא עבר על החוק, שכן לפני המשפט ולאחריו – טקסס הולדם נותר "משחק אסור". ניתן לומר שהיה אפשר לשחק טקסס הולדם מבלי לסכן סכומי כסף, אבל כמו שכל מי ששיחק יודע – העובדה שלמהלכים יש משמעות כספית (גם אם מזערית) – משנה את המשחק באופן מהותי. אם העד המומחה היה משחק ללא לסכן כסף, נראה לי שהשופט היה נוזף בו גם על כך.

לבסוף, הטיעון על "בילוף" הוא באמת יוצא דופן. אנשים נכנסו מרצונם לסיטואציה שבה ברור לכולם שאתה לא חייב לשתף אילו קלפים יש לך, וחזקה עלייך אפילו מדי פעם לשחק כאילו יש לך קלפים אחרים מאלו שיש לך. אין זה שונה מלטעון כי אסור לשחקן כדורגל, שמנסה לעקוף מגן בדרך לשער, "להטעות" אותו - שהרי המגן הוא זולתו, ואם יטעה אותו הרי שמדובר ב"הטעיית הזולת"... ונסיים כאן.

---

[¹] "כל המודלים שגויים, אך חלק מהמודלים שימושיים" – סר ג'ורג' בוקס, סטטיסטיקאי בריטי.